11160 基本春藏你会不侩三等粉角？ 錢會，著 周 中园专手生版社 ==========第1页========== 背年数学叢書 你会不会三等分一角 錢會濤著 中园丰手去版池 1956年·北京 ==========第2页========== 你会不会三等分一角？ 缝官清著 十月も手まc出版 (北京东四12条老君常11母)北京市喜科出版兼碧渠并可证出字事0好6号国背年出版社印剧厂印刷新华唐店总强售 米 787×10321/8221/2印要48.00学19年1识月北京第1版1956年12月北京年1头印时 印数130.0m 就一膏号：18009-10的定价(8)二角六分 ==========第3页========== 内容提姜 数学家華罗庚先生在一篇文章里說到：“在近二三年來，我收到成百封关于研究用圓規利！直尺三分任意角的信件，…这間題戕害了不沙青年，因为这是已解决了的不可能’間题，搞这間題的青年大部都是成績优异的青年，但他們把宝貴的时光花在这毫無出路的研究工作：上：。”这本普就是为了帮助这一些青年而葛的。作者用现：作中学数学課不甲蒜到的一些知識，比較系統地闐明了一些儿何作圆不可能問題。先从儿个方面說明所謂几何作圆不可能開题是指在}么样的条件下面說的，再進一步說明为什么这些問期是作圖不可能問題，同时也介貂一些解这些間的j法。不们能獬开讀者关于这些問题的一切疑团，而1能帮讀者樹立正确的学智态度，引起讀若進-步研究数的兴趣。 ==========第4页========== 写在前面 0 目前，还有一些人在酐究用直尺利和规三等分任意角 清 的問題。他們听人家說这是一…拿儿仰作圈不能閥題，看看問題却义这么簡單，就幅不相信它不可能，於是櫠衰忘食，刻苦鑽研。他們肯鑽研的精种是好的，足在这个稠题上饡研，却是浪費精力.因为对於这个題、从前的人已經做过不少的研究，有了肯定的結输，所以这已經是1解决的問题，不战問題的問題，用不到我們再去研究了· 为了帮助痰好儿何的青年对一些儿作稠不可能偶題有 一个初步的認藏，从面不再把运置的时聞浪費在这些已經不成稠題的問題上，我镉写了这一本小册子. 关於这个問题的書籍和文章，原已經有过-一些。付是我党得这些書籍文章，有的講得比較簡單，有的講得比較高深，对-一般具有中学数学水平的蔺者来就，不是都能看懂的，因此我参考了这些材料，用現在学数学课本里講到的一些知藏，来比較系統地脚明这些問题.我先从儿个方面說明所謂几何作惱不可能問題是指在什么样的条件下面說的，再进 一步說明为什么这些間題是作衡不可能問翅，同时也介貂了 一些解这些問題的方法，！於不引用高等数学，有的地方或济論証不够严密，但是通过一些具体而淺显的例子，用此較、 【 蓝” ==========第5页========== 你会木盆策分··润曾 分析、粽合的方法得結論求，我認为是说服1的 通过对这些問题的架清、我想霞者不！能够解开关於这此問題的一一切逆村，星能够体会到数·上理利錢結合的重要性，明确代数和儿的内在联系。假讀者能因此树立正确的学程态度，發生-·步究数子的兴趣，那更是作者党得分欣慰的“了， 由於作者水的限制，書能有缺利錯誤，希曜讀若批部指正. 錢罐瓣 195年5月 ..ch ==========第6页========== 目 次 紫 一惊奇的问答 时鐘也会等分一角。 母 黄 二問題說錯∫ 精几种特制的器械可以.三等分…衡。…10 三还是有刊能 有刻度的直尺可以很蚜利地解决这个断蹈。……5 四“規“矩”的规 欧氏几的作圖：具和它們的使法。……19 五兩个“为什么？” 几树作圖为什久要硬定用连尺圆规？为什么独定州 道尺知凰規就不可能三等分一润？…23 A 六“代数“儿何”饼了家 笛卡兒坐标的引进。平面上的点实数麒的“一对一的 对攻》关梁。…，…27 七周形变方程 笛卡兒整标上的值線方程利新的方我。…3 八問題的关鍵 只有由日知的良度用有限多次有理运第利耳华方所得到 的度度，才能用值民圓锐作出。…37 九完全是啊回事 作圖間題的“無髁利“可能的区别。…42 重52 ==========第7页========== 6 你公不.都分、我” 一O护米动i 代拔式的几法，“不为“不能 跟定们直尺利能烈：订能等亦·.…5L 二 跳出了圈子 应用别的曲綵来等分·年.调米臨典粮。辦斯卡链綵，…60 一三从-一个神話談起 倍之方体間膜。………… 一四算龙最困难 凰积求分間酒、 …71 一五一些錯头的想法 别再把贤的时联受在这些泽是不成間原的開道上。…77 ==========第8页========== 步 ·惊奇的回答 时鐘边个三等分…码。 我知道你臂鄹学留过儿何，或者現在正在学留几何，而且学智得很好.你不是很喜欢解决儿何里的作阁問題螞？的确，爱：儿何的入，对作圖問題往往威到特别有兴趣、我想，你一定会知道一·个看来很簡單却父那么树摊的作圆問題，就是“把一个任意角三等分”、你也部同前多人一一样，尝过它的 味道，譬如說，把已給的角OB当做中心角（圖1），把这角所 对的弦AB三等分於C、D啊点，然 后速接)C、()D,再延萇交AB於 B、F,認为这样OE、OF就三等分 ∠AOB了.但你叉很快就会發現， 0 ∠AOB同∠BOF然是相等的， D B 因为很容易証明△A)C≌△B(1; 而∠乃OF却此它們大，理由也很 筋單，就是在△AOD里，O是AD 僩1. 上的中線，义且>OD,所以∠1O?/CO),我科不是已 凳知道，在三角形里，中線跟小的鄰边所夹的角大於它龈大的 〔7) ==========第9页========== 你会不合：部妒··？ 鄰边所夾的角螞，因贤你、失设了 你是不会甘心於自己的失敗的.你不是請教过老师嗎 而H也臂經閱讀过一些書籍或杂志，想得到花的解答：件是結 果使你很失望，都告訴你这是“不可能作鬧問趣”.我想，表面上或奇你沒有什么意見：相是内心里不免会將信將凝的。 假如你問我：“你会不会把-一个任意角一等分呢？我的回答是：“会，丽星很容易：… 这个回答一定会使你很惊奇吧？你一定以为我是一个大言不慚的人了！否則就是把問題所錯了！或許是把这題理解成特殊角的二等分，如直角的三等分，平角的三等分，因此你会很快地提醒我：“要注意是任意角啊！ 我是完全注意到这·点的，請你别性急，我来告新你怎样作法： 儿何里的許多作圖閻题，在实际作当中是往往会遇到的。因此，有些問題不能單純地看做儿何作圈，而且也是一种技术，譬說，我們都知道等分賃周的稠题題是一个此較有趣的作圈題，这就是把圃周剧分成等分.其实作-…个正配边形也就跟把圓周分成凯等分是一·回事.沒有深刻研究儿何的人，如画家、無線电設引者、建筑家以及手工艺家，在作背中也常常会遇到这样的問題.我偶祖国的美的五星紅旗，不就是要先作正五边形嗎？至於“把个任意角三等分”，也同样是被建筑家、周紫骰計者等泛地应用着的，他們却很順利地把这个間題解决丁譬知說，只要用量角器先把要分的角量出度数来，然后再算出它的三分之应該是多少度多少分，这样不是很 ==========第10页========== 惊的理相答 为 快就可以把三等分作嗎 “不能这样，这是近沙的作，段得的度数不能被三所整除昵”你-一定会很不股地说、 邪木，我們就来换-一作法，或許以满足你的要求.你大概閱讀过苏联判莱利變所著的趣味儿何学：”吧，这是一本很奸的課外讀物，它会告訴你去，意我們周剧排界里各种事物的程見的儿刺关系，牛部你怎样把学到的儿何学知 廉 識应用到实际方面去.引起你班究儿何子的願翠，东成你纤究儿何学的嗜好.我現在来介貂这本書里写的一种“三等分角”的方法，一一定会使你威到兴趣 大家知道，时鐘面.上都有时針分鲜、分针走一轉，时針就走过一个字.也就是分針轉劲了360°的角，时针就走了60的十二分之 2 一·而十二是三的倍数.我們利用时鐘的这个特性，就能把任意角三等分 B 了. 5 手續很簡單，你把要 三等分角的圖形画到一張 简2. 透明的紙上（鬧2），当时鐘的时针分針纤在-一起的时候（为了着起来更清楚，可以撥到正十一时)，把透明紙上的圆样舖到时鐘面上.，使简的角的顶煮恰好落在针时軸心上，角的一一边跟相件的雨！相合，然后你把分慢慢地撥到角的另一·边 ==========第11页========== o 你会会·：等··：曾 合的政资.时"？然雌j)-·华，用在那透明紙上把时針現在的位置记下，我寶門从翻}以连，时所走的角 ∠(-…定是.)B时分之.计·耳把(，放 大到四筋、放大的度的方共，我想你是·定道的，邪未这个角不就是∠)的三分之·了瞎 二間題說錯了： 期儿种特钱的器城可以等分…角、 “这方法茸巧妙，居然时鐘也会替我們解决三等分角問題，不过…” 我知道你还不满意、你認为这还沒有解快你所提出的問題，你認为我們应該用儿何的方法莱把任意一角二等分，.上面的方法虽然很巧妙，但巢竟沒有用到儿何的知識 知果你的意思是这样，那我得提醒你，你把問題說錯了。 车 你不老是这样問旁人嗎：“你会不会把一个任意角三等分呢？照理，只要分出就算数，对不对？ 你或新以为我在吹毛求疵了，你会这样說：“挑父何必呢？,这問題本来就是儿何学上的，然要用儿何树知藏来作出.” 这可不能这样說。我們究任何一件事物，应該有正确的科学态度，特别是学留致学的时候，对…个問題的提出或研究，要明确已給的条件，根据这些条件要想迟到什么样的目的，要微逃得清清楚楚，不能含糊其辞。假我这样問你 ==========第12页========== 間照銷了！ 11 个問顆：“你：个不全做·个角，呢，你要解决这题的方法就多降很。等知瓷：放照-·个现成的衡是把它猫下来；或者用正.方形的纸片衍成…腰再角形，再用斜边的中点做角值折战和等的在不角衡·然后前门剪出一个五角星来；或若用-張内边平行的紙条.挽…了，把它小心地抽紧， ◆ 不要讓它的边卷起來，-面抽、面用广慢慢地压平，就会做成一个五边形，再作它的各对角線，就出一个五角星了； 娇 或者应用儿何課本上.黄金分制的作圈法、也以把它作出来、我們应該說，这些方法都是所提出的福题的解答，不能說这个对那个不对. 好吧，邪我牌現在就衣你就要用儿学：的藏，来解三等分-一角的問題吧.我想提出儿个解法、看肴它們是不是符合你的要求. 你总道一位行代希酸的物理学家义是数学家的阿基米德（公元前287(？）年-公元前212：吧.我們不但在物理 ◆ 学上遇到他，在儿何学是违遇到地.褪道是一个熟烈的爱国者，当罗馬入攻希臟的微拉城的时候，他頁款出自己所有的科学知識，来頜导这个城市的防御工作，后来这座城市陷落了，虽然罗馬将軍下金不唯伤街害这位偉大的学者，是他移於被罗馬兵士杀死了.据說在罗馬兵1：进他家的时候，他正在沙地上画儿何圖形，他恐行1兵士：破车他的圆形，嘴里还速速啡哦不要动我的鬨呢！ 从池的著作里，我們知道这位子挤也肝究过这个問題， 他把所要三等分的角1()B的一边B0延袋（霸3），再用()做 ==========第13页========== 12 你会不全一等分“冉？ 心，仟意的授”做半径，画-…个鼠，畏角的分…边相交方於f、於是他說，过C点用直尺 作…直線、硬它眼牛假利和B) 圖3， 的延装線交於乃、F啊点，使 F拾巧等於的半秤”.这以，这样作：我先在直尺： 記下、F喇点.使它湖中間的离等於、然后繞(，点滑动 直尺的位置，使直尺上的、F分别明落在B()的延授線 上·这是完条可能的这样-一米、我們就到.P=哥∠4B. 因为 gF二：)C, 所以 ∠AOB=∠(B+∠F=/E:+∠F =乙F∠BFF…3/F. 为了作这个圖方便起見，我們还可以設計一…种器械（圖4):拿雨根有糟的棒（木头或金屬制 的都可以)，在F点 挪兒把它們速接在 一起，並且使它們能够撓点轉动.再拿雨根一样長的棒，一端速接，像圆 瞬4。 上那样嵌在槽里，把端的位置定下来，使召F的長等於 O,C点利！)点却可以随F角的張大或箱小自由地在槽里 滑动.这样，我們只要自由調节∠COB使同我們要分的角一 ==========第14页========== 简鲜挽鲜堇： 13 样大，邪未F就是所要分的有的分之一。 这种器械有入就斟它做“分街器”。 “想不到这个間题有这样悠久的建，在一千多年前就有 八注意它了，倒慎有意思.但是为等分一…角，还要另外制作-一个器械，这就未免太痲煩了！”你能会有这样的感觉. 有 是的，这茸是一个老的儿何可作陶题.誰都知道，右代希搬是一个研究兴术風很盛的家、有过不少的哲学家利数学家，柏拉圈、亞理斯多德、德謨頡利綺、托勒玫、芝諾等，就是我們儿何学的老醒宗欧儿里得，地是这个时代的人·这个看来以乎很簡便的作调問题，代数·子家地的确为它校过腦汁，还为它热烈地争辩过，且因而發現了数学上一些别的問題。 至於上面所說的三分角器，倒並不是定要你去制出来，这不过是說这个問题的-一种解法罢了·你在实际广贮作中真正遇到这个問題的时猴，我前面已鄹說过，用量角器也可以把它近似地解决了.其实超不…定只有上面这样的一一种三分角器，我現在再另外来介紹一利： 用張硬紙板或馬门鈇片，剪战像圖5上有陰影部分的形狀，跟半圃相 接的一段B,是度和半 阗的半径相等，另一段B) 要跟A('垂直，並且在B点 跟牛图相切，乃D可以稍 5。 ==========第15页========== 14 你盆承会等分·涌？ 許長-一些.有了这个·我捫使能进三等外和 假定我們要把-…个化分战空分，先把乙Y 的角顶N放在D線上面、逐步移：动V)線上的拉置， 使∠MV!的一边通过1点，另边限切.然后从 Y到R、从N到)作啊系值象Y),於是这个角就被 三等分了，因为我們根容易明： 直角三角形2追二.有：)V 兰直角三角彩'. 所以 ∠AVB4バー∠0VP. 所以 ∠1V-}r. 有入把这塊极啡做分权”，用分角板比刑上面种三分角器筋單. 或許你認为这个方法茧然北.面的簡單.俐華竟还要特制一个工具，还是麻頗、 那我还可以介紹你以用现战的工具米解这个問題的方法。 你总該有→副三角板吧，炉轻儿何的人是少不了它的，一塊是等腰直三街形的，塊是喇个銳角分别是30、60的.通常一三角板，第一堍的斜边巧等於第一塊的歧直角边、利用这一副三角板，我們也以来二…等分…街 如圖6，∠A()B是所要分的角，作它的边《)B的小行線 上，OB和1Y中間的离是任意起(，於是就用副三角 板，使个直角顶相合於('、鬼的绥官角边银另一塊的直 角边相重合如CG，另…直角边相接而战直線HK,在('I、 ==========第16页========== 还是南可 15 C上取D、(CE使各等 於，把这样并炎的神塘 三角版放到上，小心移动它們的位置，使(（ⅵ 通过O点，而)和分别 ● 落在().1和XY嘲条線 ..那末（和(B就是所 求的二等分線了，因我 6. 們很容易証得： 直角三角形I兴（兰谊药到形((） 三直三年形F). 所以 ∠1=片H. 假知如你把木广使用的角尺极照上面的方法来做，也可以得到润样的結果. 你看上面的儿利二等分角的方法怎祥：花删都是根据儿刊商形的性寶，必用些具把飞个避解决的. 三逐是有可能 有翅度的值尺以很腹地解决这耸間顱， 你就：“我从来沒有想到怎样用一具来解这个問題。我也練留过部多作嚼將，有些題在：表上确实北这問題要复杂得多，但有时候我也把它牛决了.儿何学上有部多红 ==========第17页========== 18 称会不会：·等分…·痛？ 周方法，知奥定基础法，行移动关、利！妤称的方法，跡父截的方法，相以作圖法以及代缀解析去掌紧。美然老师誹我們，要解决-…个作刷問题，不能机械地搬用-一些什么方法，但是我总是根据-些儿学：的某本作制定理和一些儿何圖形的性質。沒有用什么特别的1：具，只用直尺和圓規把它作出来的.因此，我道得上衡所說的儿种方源以乎不符合儿学上作的規.” 規鄉：这兩个字倒起我想到了我斑代战国时猴的一位学者孟蚵来了，他臂經說过：“不以规，不能成方圓.”所謂“規”“”其实就是用米作搁的雨种工具·“矩”就是用来作方形的角尺，“規”就是用来形的提.据說从前在山东嘉祥县，留經發掘出一所汉朝武梁的石茶，里面有幅石辦的入面蛇身像，題名“伏義氏手执，女纸手执規”.这虽然是神話，也可以說明“规”“知”在很的候就被用来做周的工具了.你所說的要符合儿何学的作規矩，不就是用“規“”来作周嗎？ “正是这个意思，”你会回答我說.你还向我說期明：“我們学蟹儿何作闔的时候，就老是只以用值尺利規，把雨点速战一線段，把一線段延长，或是作…直線的行線或垂直線，或是用圓規画一段弧或一个，这洋，裂过一些不同的手續，就把要作的圆形作出了。结果再用些儿定理来明它的作法是谁确的. 贫 这样說来，問題叉推进·生∫、就是说，不部用什么特制的汇具，而要用直尺和圓规把-意角等分，那我們就 ==========第18页========== 是有时肿 17 機續来研究吧！ 只用宜尺利圓规，要二等分一·是有可能： 有人壁經探用过这样的方法：知糊7.乃是-·个所要分的角.用角)做聞心，在作的边)1.上取一任意萇的 線设()R做半徑，画-一个鬨.再 延琵()跟圓相交於(？点.然 后用C做定点，用直尺和瑚才 画圆的規合惭移动，使过〔：点作出这样的一个線段，它 圓和OB線分判交於)、E兩 圖7. 点，而)形拾巧等於国的牛徑的良，就是使圓規的雨脚哈巧能落在D、E雨点上.再作)F∥（居，挪来f)F就是∠A(OB里的 一条三等分線了，因为，假m速(O), ∠A0OB=∠C+∠)E=∠)1C'+∠OC =∠1B+,上3.1)十∠OE=3∠(0EC=3∠B0F. 所以 ∠FB=∠B. 更有趣的，有人还只用一根直尺，就能把一个任意角三等分，不过他在直尺上事先刻上啊个点，这兩个点間的距离是可以由作圆的人任意选取的、肾然，既选定之后，那末在作圆的过程当中就不能再变更了.我們本常所用的直尺不是有現成的刻度嗎？邪就更好、你只要在心里任意認定一段長度就好了，这个匿度我們就啡它做單位長.只要用这样一根直尺，就能很順利地来把个意角三等分了. 如周8，∠AOB是所要分的角.先在∠OB的一边OA ==========第19页========== 18 你会等产。角？ .藏以·设’、便它等於 A 彈位長的一，再从C作： c,作住C⊥B,然后 再过伊赋作一条直線OF分 截1和1CM於召、F兩 点，使E等於單位長.有 崗8. ,面所說的直尺，这利作法 是完全可能的，只要把直尺繞)点艇轉，留意直尺上琊段 單位長度倆揣的刻度，襄它分别落在(、C雨線上就是 了.再速C和EF的中点(，我删就很容易証期OF就是 ∠A)B的一条三等分線，因为在直角三角形F里， -a. 而 (00=1EF, 所以 )=(Cr=F(, ∠0B=∠CP∠F-是∠W=号∠C0. 也就是 ∠r0B-=3人i08. 这雨个証明或許会使你想起，你在儿何髁里臂經做过这样的雨个糠程，髁本上是把圆形画的，只是根据调形敍述了 有哪些条件，要求能証甜∠FB=∠AO,而你也就沒有 去考虑这南个圆形是怎样作出的，只是照書本上依样画葫藏地画了下来、現在經过我一提起，你一定恍然天茶，原来这此潤題就跟二三等分一任意角的作同有张大的关系. ==========第20页========== “规)“”的规 19 你秘这啊方法予細锥敲…下.能还看得来：上面說的第一利方法，其奖间脚基米德的方法岸不多.你只要把圖7上的)延長，再把咸轉10、球.部就眼圈3完全样。而且，上面所說的周7、圖8兩种方法，也是基本上相同 的，圆7上的OE部分就跟8上的'F部分一样.如 卷 果在第一种方法里，不用直尺利摑规合拼移动，面是在直尺 上刻D、E雨点，使DE等於牛徑OR的竖，那就可以用这直 尺作出DE这条線.再說在第利方法里，如果把圓规張开 到雨脚間围距离等於半徑的兩倍，然后再银直尺合侨使用， 也可以作出(EF这条線，使BF:=2(. 所以，只用直尺和阆規，把它合使用，或者就只要一根有刻度的直尺，也可以解决这个三等分·角的問題， 四“規”“矩”的規矩 d 欧氏几何的作谶工具和它钢的使理法。 “我真像丈一和衔模不着头腦了！想不到这样一个問題， 特 解决的方法有这詐多，时鐘帮助我們獬决了这个問題，用特制的工具也解决了这个問題，現在，直尺圓規甚至速一根有刻度的直尺也都能滿意地把一个任意角等分了，但是我們却都說这是一个不可能作同問題，这到底是怎么一回事呢？”你会提出来問我， 綁制你慢慢地所我講！我想先提比一·个常識性时問題 ==========第21页========== 20 你会不公片等分…裤7 来談談，假如我間你：“人类会不会在：空飞行呢”那你人概会回答：“这是不可能的，人父沒有潮膀，积能在容飞行跳？”侣你鄹过思索之后，矿能义这样說了：“現个弹：不新迎向润询發展，人利用气球、飞铤、飞机、火箭等具，也可以說已貂能在空中飞行了。面且苏关現在还正在哪究人造衞星呢：”不錯，你这呐个回答就說明了-·点：我判擬一·个脚題的可能不可能解决，应骸先考虑在什上条件之下，因为，有些問题在某种条件下完全可以解决，矿在另…种条件下，就不可能解决.像人类飞行的問題，要不使用任何：具，入类是無法在空中飞行的，但是使用了各种[具，人类就能在空中自由飞行了.現在我們所研究的三等分角的閣題，也正是这样的.如果不受几何作圖工具和作圖方法的限荆，是可以解决的，而且很容易，但是果只限於应用直尺和规，要想来把它作出，挪是不可能的. “期才不是已經用直尺利和圓规把它作出了嗎：”你一定党得奇怪。 是的，我正要告訴你，上面所用直尺利和假規的作圖方法，还是不合儿何学上的作鬧规郑的.我不是談到規知嗎“規”“矩”雨个字單来講，可以說是儿学上.作园所使用的工具，但是把“規矩”雨个字连在一起講，他就是所規定的使用工具的方法。你萁想不到吧、居然“規”“矩”还有“規矩”呢1 儿何学上告新我例，直尺和價規是欧儿里得儿何作的特定工具，並且規定了它們使用的方法是这样：直尺有神种用法，就是(1)雨点之間可以迎結成…个段，(2)線段可以向 ==========第22页========== 規”“背的規 21 雨方任意地延运.倒理的法是用任意…点做中心，用任意長的牛徑可以一段抓或…个倒 我和信你是知道这一点的.們是逐得注意些“規”，就是我网儿何学所用的直尺是沒有刻度的，业且不能把直尺和圓規时时在-→起合群硬用.我例有了这限制，前面所說的兩种方法就显然不符合儿何作圆的规了，为了进一步說期这一点，我想用儿何髁本上…个常見的作圖題做例子来談一…談： 过圓外的一·已知点，作鬨的線，使圓里面的線段等於已知長. 当然已線设的接逆該小於或等於鬨的直徑.現在讓我米說出它的作法： 如圖9，把谊尺繞侧外的已知点”轉动，同时把圜规的雨脚潤距离張到跟已知良a 一样，然后把假規紧靠着直尺，並且随直尺问时移动，使 一脚始愁落在價周上，直到另一脚也落在圓周上为北，於是停止移动谊尺，沿直尺画下直線，就是所求的割線. 镯9. 你…定会笑着說：“这利作觸方法怎么行昵？假如镇有入这样作圖，一定会受到老师批新的。我韶为正确的作法拉該是这样：在圓里面任作一弦使等於，然后用圜心到这弦 的距离做李徑，作巴知圓的同心鬨，再从P点引这同心的 ==========第23页========== 22 你会不会等分…，？ 雨切線，形米这病線就是所求的線了.“ 你說的完金正确，通过这个比较普通面父前單的作周题，我們应該更理解上面說的使用规的：了。其东，我还要告新你另外一个规矩，在几何作筒的时候，直尺和圓規是不能使用無限多东的. 你党得这个规矩好像沒有必要吧？你说：“假如一一个作圖問題，需要使用無限多究的阗規直尺能得到獬决的話，挪未我們一輩子也沒有办法实現这个作调，用1.我想也决不会有这样的作周問題.” 这倒也不能这样說、你要道术议有这一个限制，假如真的允許我們使用無限多次直尺和圓规的話，那未三等分角的問題虽不能笑現作圖，在理論上却是完全可以解决的。在数学上有一些問題，根据已給条件，具要在理論上能够解决，也就算它已經解决了、 現在我們不妨来看-看，假直尺利圓規可可以使用無限多坎，三等分角的問题应該怎样来解决， 你总骸知道用直尺規可以把…个任意角二等分吧，这是一个基本作圖問題，用这个方法我們就很容易把-…个已知角四等分、八等分、十六等分…”等分（是正整数）.你再想一想代数上告我們的無筠遞降等比毅数的求和公式：初項是a,公比是g的时候，I …{< 根据上面的些知識，我們可以着手等分一再了.假 ==========第24页========== 阿子“为任么？ 23 ∠B是所給的角，哪未作法就是泛羊：先把∠乃等 分，在人B上诚虫】.阵加上∠B:再减 品∠初，再加安州，照这弹的战御逐岁作下虫， 所得出的：就越来越趋近所給们的分之-；果经續作到無腿多家，那卡由就能得，了.因为： --b), (3)花=2a,50,… (4)8=6，a&a 2,3’5 (5)一6(这表示心是、、的第四此例項，因此， 線设x可以用作c、、的第四比例項的方法求得， (6)=√ab(这表示是化和的此例中頊，因此，線段可以用作ā雅b的比例中須的方法求得)、 ==========第47页========== 6 你会不会片等舒一角 (7)龙=√w2+(这表示x等於直有边是和b的直角三角形的斜边)， (8)龙=×2-b:这表示等於斜边是、一条直角边是飞的直角三角形的另一条直角边. 上面的一一些方法，也体現了用直尺利和闐規可以作出由已知長度用加减乘除和开年方的运算所得出的新的長度这一…个定理.应用这些方法，我們还可以解-一些此較度杂的求作線段的問題 例知，已知a,b.心、d、2,2,求作=a6d 272D 这問題虽然就它們的分子分母分别来看，是沒有儿何意义的，面对於全体来說，还是可以作的， 先写成-·。·的形式，再敲”=ab 92%0 所以 =id 未知数是、、b的第四比例頂，公是、y、c的第四比例頂，%又是p、公、d的第四此例項.为了簡化作圆手繽，我們还可以把它速繽作出： 知圆13，任意作雨条直線x,y,便它叫相交成适当的 角，从交点O起，在 这兩条直線上选取：OA=,OB=b、(O =t,4其北，).V=b, )),)P=p,再 搁13. 接MB、NC、PD, ==========第48页========== 愆.样來动手作：？ 47 从A作MB的平行線A,从】作Y,的华行線Z,再从Z 作PD的本行線X,邪未)Y就是所聚的線段了· 因为，根据℉行象糊的比例关系，我群有， 8-.该公-多所以=： ON OU 一，折以一C、 准 0比 班，或=立，所以足 OP OD 义如，已知a、b、,求作就=√+2 我們可以設a2+飞2=y,这时候y就等於直角边是a刑b的直角三角形的斜边，因此y可以作出.作出y以后：就得x=√一G2,因而，心就等於斜边是y、一条直角边是心的直角三角形的另一条直角边· 进一步我們可以洛一些例，說明怎样从县体的作圆問題列出代数式来作圖、我想先提-一提所謂“黃金分割法”的問題，就是把已知線段分做雨部分，使一部分是全線段和另一部分的比例中項.这个卡老的作圖題你定很熟悉，因为它有許多有趣的性質吸引着你。不过我在这里不准备多談，只是向你建議，再把这个作圈題便径…下是有好处的，但是应該着重理解它的分析过程和作圈依据，这样，你对怎样用代数的分析来解决具体的作周題这一点，或許能有更大的体会. 現在，我想另外提出一个問趣，怎详用儿何作圆法来面出 五角星、你一…定会很快地这样答： ==========第49页========== 48 你会不会三等分一的？ “还是应用黄金分割法作出、因圓内接正边形的一一边等於把圓的尘徑分戒中外比面得到的北較大的部分，这样我們可以先把圓十等分，再腹尔逆結每隔…个的分点，就得到圓丙接正五边形。作出这正五边形的所有对角線，这些对角線所翘成的圖形就是五角星.” 假知我进一步再問：能不能直接分圓戍五等分呢？这个問題或許对你来說是生疏的，件是借助於代数，还是可以很噸利地解决的。 为了演算筋便起見，殷巴知的牛徑”=1（就是單位周）， 我們先用代数方法求出它的内接正 五边形的一边的長， 如调14，設1B是圓O的内接 正i边形的一边用表示)，C是 AB的中点，邪未AC是内接正十 边形的一边邦0表示).作∠OAG 的℉分線，交半径OC於D. 圆14. 因为 <0360 -36， 10 ∠0.4c=∠01=20-88，=72， 所以 ∠0A1).=∠0A(-72=360, 2 ∠A.D=0十∠0D=72◆ 因此 ∠0=∠O1,(A÷'1D, 所以 )=1)=, 艾因 △OA△.ACD, ==========第50页========== .样来动计？ 4凸 所以 1),1:(.1:(f. 就是 1:010：至-， 那末 00十亿0一1 1は「いた、) 2 取一√5不合，所以an=号V5-1. 又因OC垂直平分AB,∠（是銳有， 所以 AC2=013+OC2-2・ OX・ E 就是 (1g-2, 所以 0B=寻w5i. 再由勾股弦定理得： 4图=v0-0孤=√1-y5+1 -v10-2京， 所以 =4B=-2·4E=2V10-2W5. 現在要直接把圓分成五等分，只要把已知圆的牛徑当做 罩位線段，股法作一線段等於号V10-25就得了. 等於√10-2V5的髹段能不能作呢？ 它是由有跟多次的截乘除和并方得的，因此知道它是可以作出的. ==========第51页========== 60 你会不金三等丹…再？ 从【.面我們水的些旖理式∫所表示的線段的作圖方法 可以看H出，果能把这个代」化战'的形代，就可以 利用勾股弦定理来作出· 参照上面得出这个式子的演算，裂容易把它化成√a2+的形式： vi-v--Vに -V1+v5产 而 这样問題完全解决了，我們做据分析，可以有下面的作法，如圈15： 1.作已知圓（單位圓）的雨垂 谊直經B和D,相交於衝心 0 B 2平分0於1(0H-). 圖15. 3.用H做心，HA做牛徑 作班，交OD於K. [IKHA=v0+a=N1+(2》,0x-ix-0=1+(-y81] 4.用A做中心，A做經作弧、交倒()於M. ==========第52页========== 4不为利不能 51 5.那未1I就是道i边择的-边. v1w-y-] 你看，用代数的方法来分析儿何作圖，萁是簡單明白！ ·“不为”和“不能” 限定用荏尺和圆栽以不可能三等芬一角的道理。 現在，可以来着手解决我們的主要問趣了，就是：为什么限定用直尺和圓規不可能三等分一角？要是單遇值尺和圓規来試，是無法判断究竟可能不可能的，只有借助於代数学，才能分析这一个問題. 知圈16，假知∠4OB是-一个任意給出的角，啡它做α.为 了运算簡便起見，用角頂O做中心，單位度度做尘徑，画一个 瓢，分糊交角的雨边於A和B,那宋AB是在∠AOB的内部， 面这个角的雨条三等分射線也必然在角的内部，因此这雨条射線就一 定同AB相交得两点、於是就可以 把間題改变一下，就是在AB上求 得它跟三等分角的特線的任一个交点，假如能够求得一个交点的部，0 MB 問題也就解决了.我們設想AB上 16. ==========第53页========== 52 你金不会三等分一角？ 的C、D就是所求的点，从利和「》别作：'和V垂直B, 这样，要是}上的点能求得，在：：的M点也就一定 能求得，发过来說也是-样，要是在（形上能求得M点，那末 AB上的G点也可以确定.因此，我們例要判断用直尺和圓規 是不是能找到心点，可以先看看用直尺和圓规是不是能找到 M点.那末我們怎样来找M点呢？看斶上OB是已給角的 一边，角頊是固定的，假能在B上.求出OM的長度是多 少，邢末M点也就确定ˉ了.现在問題义可以政变做求OM的 長度了，这样。一来，我們可以根据前面所談的理熟来决定OM 的長度是不是可能作出.我們設OM是，如果可以用有限 多次加减乘除和开本方的运算所構成的代数式来表示，那末我們电可以用直尺和圓规把它作出来，問題也就迎刀面解：若不是这样的話，那末这个作圆就不是直尺和圃規的能力所及，也就是作圆不可能問題， 怎样来用一个代数式表示OM的長度呢？我們只要应用 一些轴單的三角知藏就够了· 如圈16，因OA和OB是單位醒的年徑，α又是定角，A 一定是定点，所以 OW=cosu(这个畏度是巳知的)， =(1=c0s分（这个提度是术知的，也就是所求的）.我辆配得在三角里学到过，0：u和0s号有这样的关系： Cus coa ==========第54页========== “不为》利“不能 55 现在設OV=a,把)1和，1分别代入这个式子里，得 4x3-3=a, 因此，我們要求得的值逛就是表示它的良度的代擞式)，就只要解出这个方程的银， 在沒有动手研究这个方程的根以前，以先注意-一点，这里的常数項a=cosa,是随着所稀角的大小而变化的.要 一般地解出这样一个三灰方程，对我例来說还是有困难的，因此，我鬥可以先来考虑它的儿特殊情形： (1)假設x=90°，c0sa=0s90=0,就是OW=a=0,方程变成： 4心3-3=0，或42一3)=0. 这样可以得出三个极：=0，，一3. 一2·舍藥0根同負 根①，我例知道“=，是符合於有限多欢加减乘除和开平 方运算的规定的，所以是切以作圆的： 2=マ-(2) 用彈位民作直三角形的斜边，單位民的…半作一条直角边， 另一条武角边使是所求的0的反，事实，余弦商数是3 的小於90°的正角是0°. 余函数是一的角是150°，实际上是(90+360）的=整分 余面数是0的角是70°，实际上是(90°十720°)的三等分角. ==========第55页========== 64 你会不会三答：分…新？ (2)假設云：135’，x云15 2,就是0y ·?乙红在华标横的自向，方程变战4x一38=-之，或8x-6x+√2=0. 解这个方程，可以得出三个根：Y2,一Y2±Y6,后4 面雨个根我例刚暂时不上管它，只看第·个根)2，它是 合於有限多炙加藏乘除和环平方运算的定的，所以是可以作圖的： =y(2+()》. 用單位良的一牛作一个等腰直角三角形的南角边，斜边便是 所求的0M的長。事实上余弦南数是2之的小龄90°的正角 是45°. (3)假投，=180”，s=(180'=-1,就是ON=a=一1(a在坐标上横轴的鱼向)，方程变成： 4公3-3然=-1，或48-3↓1=0. 解这个方程可以得出三个提：-2，名-1。这三个数部 是符合於有限多次加减乘除和开不方运算的规定的，所以是 可以作周的.事实上，余弦函数是2的小於90的正角是60°； 大於90°的角是00°，这是(180+720)的三等分角；面山余弦阴数是二三√6的角215°，实际上是(13流+360)的蟀 4 分角余弦函数是二√三+√8的角是285，实乐上是{135°+720)的三等 分角。 ==========第56页========== 私不为影9利[不能 55 余弦函数是一1的角是8)，这是(I8)+360)的三等分角. 其余豫108”的年，我也可以位用黄金分割的方法作出36°的角，推开来說，所有可以像这样用自尺和圓規作的角，它們的三倍角都可以用直尺和圓規来三等分， 那末是不是从这里可以推出：任意角都可以用直尺和圓規三等分呢？当然不能，根据特殊情况来概括一般情况，是会犯很大的錯譔的.我例知道这个方程里的常数項的范圍是 -1≤0<1，上面所举的0.-”.-1等，单意是一些个别 的值。我們要把所有的值一般地进行研究，固然还有困难，但是不妨反过来看一一看，是不是有…些角不能用直尺和圓規三等分呢？假如可以找到的話，邢未我們可以这样說：要一般地用直尺和圓規来三等分任意角，就·定是不可能的了· 現在我們就取一个60°的角来武一武， 餐段a=60,caa=60s60一号，就是0N==号方程变成： 4然3-3x=),或8x3-6-1=0. 現在要解出这个方程的根。事实还不必把这个方程的根全都解出来，因为我們的主要目的是究这个方程的根是不是可以作，也就是它有沒有根是山有限多东的加减乘除和开本方等运算符号所構成的式子来表示的。因此，我們只要研究这个方程是不是有有理根或者只舍有开平方符号面沒有开高次方符号的無理根存花，就以了. 現在分几种情形来考虑。 ==========第57页========== 66 你会不会三等芬·到？ (1)在方程8c8-6:一1=0里，是不是有有理根呢？这 一一点，我門究会不必獬这个方程.就以求判别的。为了簡 便起見，假設一2G,绑未方程就变成： y3-3y-1=0. 假如这个做变后的方程有有理根的話，那来原方程也就有有理根，假如这个改变后的方程沒有有理根，原方程也就沒有有理根。 根据代数学的知識，假y3-3y一1=0有有理根的話，那末这些有理根-~定是一1的因子，也就是1或一1，現在分别把它們代入方程：1一3一1牛0，艾一1+3一1牛0，因此这个方程沒有有理根，也就是說原方程沒有有理根。 (2)在方程8x3一6-1=0里，是不是有只含有开邓方符号而沒有开高次方符号的無理根存在呢？ 所謂只含有开不方符号而沒有开高究方符号的無理根， 最簡單的形式是M士√V,这里和Y是有理数.我們假 定有一根是M+√V,那未用这个根代入这个方程，应骸是适 合的，就是下式应骸成立： 8(M+NN)-6(M+√V)-1 =8(8+3M√+3MY+N√N)-6M-6√N-1 =8M+24M2√N241Y48NWy-6M-6×N-重 =(818+24MN-61-)+(24M9+8Y-6)√/Y=0. 因为有理数部分跟無理数都分不会相等，所以只有 8M8+24MN-61-1-0, 24M2+81N-6=0. ==========第58页========== “不为种不能 57 我例再看看跟这个製其鞭的！√是不是也是这个方程的根，把这个数代入这个方陆的r猫：8(M-√N)3-6(1-VN)-t =8(M8-31Ia√W+3MY-N×Y)-6M+6√N-1=8M3-24M√N十24M.y-8×V-6M1+6/V-1 =(8M8+24MN-6M-1)-(24M2+8W-6)√N. 由上面得出的关系，可以知道这个式子-一定等於0，所以 M一√N也适合这个方程，就是M一V也是这个方程的 一个根. 这就指出了，方程假如有1+√V的根存在，那末必有 另一个根M一√V存在. 另外，在代数学里，我們知道”究方程必有个根，所以 三次方程艳必定有二个根，而且这三个根同方程里各項的系数有-·定的关系.现在看看它鬥的关系是怎样的。 假設有一个三次方程是3x2卡十个=0⑤，我們設它的三个根分别是a、B、Y,於是得：3+pa2+g+r=(x-a)(x-B)(-Y) =a8-(a+8+Y)x3+(a8+8Y+Ya)x-a87. 这个式子雨端相应各項的系数位該相等，所以 a+8+Y=-p,a8-BY+Ya=q,aBy=-r.根据上面第-一个式子，回头来看·下我們前面所討論的方程8如3一6一1=0，这里2衡的系数p是0.假方程有 ①假知一个三次方程的$到茶数不等於1，那术各百用g3須的系数除，就可以化成c3+2十gx千r=:0的形式、 ==========第59页========== 58 你会不：三等分-丝：？ M士√N炳个根的話，揶朵以=/V,B1一W.於 是得： (MH√V)+(1-V)+Y=0,所以Y=-21. 这里是有理数，知这个方程要是有M士√V雨个無 理根的話，另外一个根-定要是有理根，这显然同前面〔1)所得的結論矛后.就归渗法的道理，知道这个方程是不可能有像 M士√T这种形式的根的. (3)除了M+√N这种形式以外，只合有开平方符号而 沒有开高次方符号的無理根是不是还可能有的形式呢？有， 那就是含有双重根式的，标准形式就像M±√V士√I士区， 这里M、N、工、K是有理数.我聘就假定这个方程有-一个双 重根式的無理根M+√N+√五+√区.为了說瑚方便起 見，我們用A代M+√N,用B代I+√K,这里A、B是含 一重根式的無理数.那未上面这个双重根北的無理根就可以 写成A+√乃。根据前面(2)所討論的，显然可以推出这个方 程一定词时有一个共軛的根A一√五，爾第三个根应骸等於 一2A.但是A慨然是一个含一重根式的無理数，这就跟前面 (2)所得的结詒矛盾、就归謬法的道理，知道这个方程是不可 能有像M士√N士√士√这种形式的椴的. 从(3)的討論可以看出，这个方程也不可能有含三重、四重…根式的根.因为果有含三重根式的根，一定会推出同时有一个合双重根式的棧，这义跟)所得的結输矛盾；如果有含四重根式的根，一定会推出同时有…个今三重根式的根，这也是跟已得的結論矛盾的，其余可以政此类推。 ==========第60页========== “不为力利：“不能分 59 於是我們可以得结渝： 方程8一6心-1=0的根是不能有限多次的加减乘除和开不方的运算式子示来的，也就是說，用直尺和阆規不能把60°的角三等分.其实，除去了可分的-…些特殊角之外，你不选0°而选定其他的角，-…定会有同样的遭遇. 現在，我們艾該小結-一下“了. 这个古老的、會經耗費了許多数学家腦力的几何作圖題，从笛卡兒發現了数和形的对应关系以后，总算漸撕地得出結論来了.入們解决一个問题的时候，往往先从它的正面（可能的一面)着手，但当遇到困难的时堠，也就会若虑到它的反面(不可能的一面)，到了入們已經有充分理由可以說明問題是不可能的，那問題也同样算是解决了.三等分一角問題就是这样的例子，在笛卡兒以前的相当長的时期里，人們認为它是一个难題，現在看来，要用直尺和衝規来三等分一角，不是雅面是接本不可能。因此过去認为是个沒有解决的潤题，现在应骸說是已經獬决的間題，或者說是不成問題的閥题， 記得我国古代孟軻所著的書里有这样儿句話：“执泰山以超北海，非不为也，是不能也·为長者折枝，非不能也，是不为也。”现在，我們对这个問题也可以說是“非不为也，是不能也”.、 最后，有一点是要指出的，前面我鬥所論証的，还不是十分严密的，但这北不是說这个間题不能够严密地来論証，只是要严密地来論証，就要用到比較岛深的数学藏。应用比較高深的数学知識，我們可以完全弦密地漏証上面结論的正确， ==========第61页========== 60 你条不经三等芬·：？ 不过就从我所的較淺的論亚，业已怒：以使我們相信，月用道尺圓規米二等分任意的，是…件根本不可能的事. 一”跳出了圈子 应用别的曲粽来等分一角。都米德蚌羰。帕斯·卞射粮。 我在前面說过，除去-一些应用特制的工具之外，在数学上还有别的方法来作出-一角的三等分線，这些方法又是怎样的呢？ 古代的数学家想用腹尺和圓规作出一角的三等分線遭到失敗以后，就很自然地会想到，假跳出这个圈子，是不是能够解决这个問題呢？也就是說，不限定用直尺和假規来作直象和圓，丽是用另外一些曲線，是不是能把它作出来呢？这方面的工作已艇有許多人做过，而且有了不少的成就，当中比較著名的，是在公元前180年左右的大数学家尼哥米德。他应 用了他所發現的非常著名的蚌線，很容易而I順利地解决了 三等分角的問题.蚌線也谊線利-一样，是符合於某特定条件的点的軌跡。这个軌跡的喝形很像蚌壳的边緣，所以叫它做蚌線，数学上为了紀念这位偉天的發現书，父嗶它橄尼哥米德蚌線、大数学家牛在研究二次、四东線的时俟，也會經应用了这个曲線. ==========第62页========== 跳出了圈子 61 蚌線是这的…利軌，事：圈17，有-定点)一条定连 線，它們的距离)M运是.过 点的一条动直線”遇定直線於(Q, 在动直象”上取雨点P、P', 和P'Q都等於常数b.P、P”的位置随着动直線'的位橙变动而变动，这 雨个动点P、P'的軌跡就是蚌線 圖17， 我們很容易把蚌線作出来，並且因了大於、等於或小於b,可以作出三种蚌線来（圖18）. 利用蚌線的特性，我們可以很順利地来三等分…个任意角、· 如同19，設∠BC是所要三等分的角、用角的一边AB 做一边，角的另一边AC做一条对角線，作-一个婚形ABCD. 現在我們認定A做定点，BC做定直線，从A作一条值貌 简19. (动直線)交BC於Q,在这条动直線上.取一点P,使P= 2AC,挪来P的轨跡就是b>的球線，不过这里只探用它的右枝。 ==========第63页========== (a>b) (a=b) (a